Résumé : Le but de ce cours est de revisiter le Théorème des Fonctions Implicites et le Théorème d’inversion locale dans le cas classique et de mettre aussi en lumière l’existence de fonctions implicites en absence, plus ou moins, de différentiabilité au sens de Fréchet, mais en faisant recours à la monotonie généralisée, la sous-différentiabilité ou la différentiabilité au sens de Clarke. De plus nous donnerons quelques illustrations aussi bien en théorie (Géométrie, Équations aux Dérivées Partielles, Théorie de la Bifurcation, optimisation,…) qu’en pratique (Économie, Physique, ...)

Résumé : 1. Problèmes elliptiques linéaires: Propriété de la moyenne, principe du maximum faible. Formule de représentation de Green. Problème de Dirichlet sur une boule, sur un ouvert. Solutions faibles du problème de Dirichlet, de Neumann. L'approche hilbertienne: Théorème de Lax-Milgram. Valeurs propres et alternative de Fredholm. Principe de Dirichlet, calcul de variations. 

2. Théorèmes de point fixe et applications aux problèmes elliptiques non-linéaires: Théorème du point fixe de Schauder. Théorème du point fixe de Schaefer. Applications aux problèmes elliptiques sous-linéaires. Le problème de Dirichlet pour une classe d’équations de second ordre super-linéaires .

3. Méthodes variationnelles et introduction à la théorie des points critiques: Dérivée au sens de Gâteaux et de Fréchet d’une fonctionnelle. Coercivité, condition de Palais-Smale. Points critiques, points critiques sous contrainte. Théorème du “pas de la montagne ” d’Ambrosetti-Rabinowitz.

Résumé: Dans ce cours il s’agit dans un premier temps d’introduire la théorie du transport optimal. Pour le problème de Monge, l’application transport optimal n’existant pas toujours, nous donnerons, dans un premier temps, des cas de figure simples avant de passer au problème relaxé qui est le problème de Kantorovich. Ensuite, sous certaines hypothèses, nous montrerons des résultats d’existence. Cette partie sera suivie de quelques exemples pour étudier l’existence de solution d’EDP à partir du transport de masse. Quelques résultats de régularité seront introduits.

Objectives: The objective of the course is to introduce to the students to a basic tool of Nonlinear Functional Analysis, the local theory of bifurcation which provides local branch results. Such techniques are applicable to a wide class of mathematical systems, modelling real phenomena. We will illustrate these techniques, on several models of Partial Differential Equations.

Programme

(1) Introduction to Bifurcation Theory. (2) The Implicit Function Theorem. Linearizations. No degeneration and local continuation. (3) Bifuracated branch from simple eigenvalues. Theorem of Crandall and Rabinowitz. The principle of stability exchange. Rabinowitz’s global Theorem. (4) Applications to the study of existence of solutions for nonlinear Partial Differential Equations.

Résumé : Les capacités de traitement des ordinateurs modernes ont permis de mettre au point de nouvelles techniques de modélisation mathématique qui étaient jusqu’alors impossibles à réaliser. L’une des plus importantes de ces nouvelles techniques est la modélisation à base d’agents. Auparavant, les modèles de populations reposaient sur des fonctions continues qui caractérisent les propriétés globales de la population et qui satisfaisaient des équations différentielles (telles que les équations de Lotka-Volterra). En revanche, dans la modélisation basée sur les agents, le comportement interactif de chaque individu (ou “agent”) est pris en compte. Les ordinateurs de bureau ou portables sont désormais capables de gérer des modèles basés sur des agents comportant des dizaines de milliers d’agents. Une application importante des modèles basés sur les agents est l’épidémiologie, c’est-à-dire la propagation des maladies contagieuses.

Ce cours comprendra une introduction à la méthodologie générale de la modélisation à base d’agents, une présentation d’un exemple de modèle à base d’agents de la propagation d’une maladie au sein d’une communauté, et une discussion des limites et des perspectives futures de la modélisation à base d’agents en épidémiologie, ainsi que dans les sciences sociales.

Résumé : Dans cet exposé, nous nous proposons de passer en revue le théorème spectral dans le contexte du Laplacien en quelques contextes issus de l'analyse et la géométrie. On donne d'abord les notions abstraites concernant le spectre d'un opérateur auto-adjoint non borné, les différents types de spectre, la notion de résolvante, de valeur propre discret et aussi généralisé et enfin le calcul fonctionnel classique. Dans le cas du Laplacien défini dans R^d, on fera le lien entre la transformée de Fourier et le théorème spectral, ainsi que les principes d'incertitude classiques. Nous pourrons ensuite étudier le cas d'une variété Riemannienne compacte régulière, ou le spectre est discret et présente des connexions importantes avec la topologie de la variété. Enfin, on pourra aborder, si le temps permet, l'asymptotique de Weyl  dans ce contexte.

Il s’agit d’une méthode variationnelle, une minimisation sous contrainte d’une fonctionnelle d’énergie, où la contrainte, justement, est la variété de Nehari. On définira la variété de Nehari et on introduira certaines applications qui renseignent d’avantage sur la nature de cette variété.

Résumé: Cet exposé explorera l'application des EDP à des problèmes courants associés aux propriétés d'écoulement de fluides complexes. Nous aborderons les régimes d'écoulement dominés par la viscosité de ces fluides (Hagen-Poiseuille), les caractéristiques thermodynamiques des mélanges (Flory-Huggins), le concept du potentiel chimique, le processus de nucléation et de croissance induit par la diffusion (Schmoluchowski) et les développement de microstructures (Avrami).

Abstract:  This course is designed to introduce participants both to the basic methods for developing models of the transmission dynamics of infectious diseases and to the applications of these models. It will start with an introduction to the major concepts used for studying the epidemiology of infectious diseases and continue with an introduction to the main types of models that can be employed. Participants will learn about the basic methods for setting up deterministic models (difference and differential equations) and will gain practice.

Résumé : Nous étudions le comportement asymptotique d'un modèle de compétition entre deux espèces dans un environnement spatial hétérogène et analysons l'influence d'une variété de stratégies des espèces sur la compétition.

Résumé: Dans cet exposé, on introduira les distributions et solutions fondamentales des EDP. On verra aussi la formulation par équations intégrales et le théorème généralisé de Green. Équations intégrales singulières en théorie du potentiel et en élasticité. Méthodes variationnelles d'approximation, collocation, résidus pondérés. Éléments finis de frontière et discrétisation des équations intégrales. Fonction d'interpolation et types d'éléments. Formulation matricielle et évaluation numérique d'intégrales singulières. Technique d'assemblage par sous-région. Résolution de matrices pleines ou bandées non symétriques. Techniques de couplage éléments finis (MEF)-éléments finis de frontière (MEFF). Programmation et problèmes de maillage automatique et de CAO. Applications : analyse des contraintes, calculs aérodynamiques, interaction fluide-strutre, milieux infinis, etc.