SYNTHESE DES ACTIVITES DE L’ECOLE CIMPA-ENS : DEUXIEME JOURNEE (MARDI LE 06/08/2024)
La première séance de cours sur la théorie de bifurcation et méthodes d’analyse non linéaire a été animée par Madame Rosa Maria Pardo. Cette séance s’est intéressée à la formulation faible des problèmes non linéaires. Plus précisément, la notion de solutions faibles dans le cas des problèmes non linéaires a été élucidée et de nombreux exemples de constructions ont été proposés. Nous pouvons citer par exemple le cas des opérateurs de Nemytskii sur les fonctions continues et sur les espaces de Lebesgue qui a été développé. Le théorème de la fonction implicite et celui de la fonction inverse ont été aussi énoncés dans cette formulation et utilisés pour vérifier les conditions d’existence et d’unicité des solutions faibles pour les problèmes non linéaires dans la théorie de bifurcation. Plusieurs exemples ont été évoqués.
La deuxième séance du cours sur les méthodes variationnelles et topologiques en Equations aux Dérivées Partielles elliptiques a été animée par Prof Mabel CUESTA. Au cours de cette séance, les notions d’espaces de Hilbert et de Sobolev et des résultats y relatifs ont été rappelés. Le parallélisme entre les solutions classiques et les solutions faibles dans le cas des problèmes de Dirichlet et sa formulation variationnelle ont été établis. Le lemme fondamental du calcul des variations a été démontré et les notions de convergence faible dans les espaces de Hilbert et de semi-continuité inférieure faible, de fonctionnelles coercives faiblement semi-continues ainsi que leurs propriétés ont été définies de façon détaillée. Un exemple d’un problème de Dirichlet semi-linéaire a été développé.
La troisième séance qui a clôturé les activités du jour est axée sur les exercices pratiques dans le cours sur la théorie de bifurcation et méthodes d’analyse non linéaire. Des exercices de déterminations des solutions faibles des problèmes non linéaires utilisant le théorème de la fonction inverse et le théorème de la fonction implicite ont été proposés.
